Question

設(shè)O是△ABC的三邊中垂線的交點(diǎn)，a，b，c分別為角A，B，C對應(yīng)的邊，已知b²-2b+c²=0，則

BC

•

AO

的范圍是（　�。�

• A、[0，+∞）
• B、[0，2）
• C、[-

  1

  4

  ，+∞）
• D、[-

  1

  4

  ，2）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件知O是△ABC外接圓的圓心，可畫出△ABC及其外接圓，連接AO并延長，交外接圓于D．所以便得到cos∠BAD=

|AB|

|AD|

，cos∠CAD=

|AC|

|AD|

，所以

BC

•

AO

=

1

2

(

AC

-

AB

)•

AD

=b²-b=(b-

1

2

)2-

1

4

，而根據(jù)c²=2b-b²可求得b的范圍0＜b＜2，所以求出二次函數(shù)(b-

1

2

)2-

1

4

在（0，2）上的范圍即可．

解答： 解：O是△ABC的三邊中垂線的交點(diǎn)，故O是三角形外接圓的圓心，如圖所示，連接AO并延長交外接圓于D，AD是⊙O的直徑，并連接BD，CD；
則∠ABD=∠ACD=90°，cos∠BAD=

|AB|

|AD|

，cos∠CAD=

|AC|

|AD|

；
∴

BC

•

AO

=(

AC

-

AB

)•(

1

2

AD

)=

1

2

|

AC

||

AD

|cos∠CAD-

1

2

|

AB

||

AD

|cos∠BAD=

1

2

(b2-c2)
=

1

2

(b2-2b+b2)=(b-

1

2

)2-

1

4

；
∵c²=2b-b²＞0；
∴0＜b＜2；
設(shè)f（b）=(b-

1

2

)2-

1

4

；
∴b=

1

2

時(shí)，f（b）取最小值-

1

4

，又f（2）=2；
∴-

1

4

≤f(b)＜2；
∴

BC

•

AO

的范圍是[-

1

4

，2）．
故選：D．

點(diǎn)評：考查三角形垂心的概念，圓的直徑所對的圓周角為90°，用直角三角形的邊表示余弦值，以及二次函數(shù)值域的求法．