Question

用card（A）表示非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，已知集合P={x|x+a

x

-1=0，a∈R}，集合Q={x∈（0，+∞）|x³-x²-x+c=0}，則當(dāng)|card（P）-card（Q）|=1時(shí)實(shí)數(shù)c的取值范圍是（　�。�

• A、c∈R
• B、c＞0
• C、c＞1
• D、c＞0且c≠1

Answer 1

考點(diǎn)：集合中元素個(gè)數(shù)的最值,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,集合

分析：對(duì)于集合P，借助于換元法和二次函數(shù)的圖象可知，P只有一個(gè)元素，則由|card（P）-card（Q）|=1得，集合Q含有零個(gè)或兩個(gè)元素，對(duì)于三次方程根的個(gè)數(shù)判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)圖象即可．

解答：解：對(duì)于集合P，令t=

x

≥0，則t²+at-1=0，（t≥0），借助于圖象可知，該方程必有且只有一個(gè)正根，即card（P）=1，
又因?yàn)閨card（P）-card（Q）|=1，所以card（Q）=0或2，
對(duì)于方程x³-x²-x+c=0，令f（x）=x³-x²-x+c，則f′（x）=3x²-2x-1，由f′（x）=0得x=-

1

3

或1，
由f′（x）=3x²-2x-1可知，函數(shù)f（x）在（0，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增，
所以要使x³-x²-x+c=0在（0，+∞）有2個(gè)或0個(gè)根，只需

f(0)＞0 f(1)＜0

或f(1)＞0，解得c＞1，或0＜c＜1．
故選D

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于方程根的個(gè)數(shù)、根所在范圍等判斷問題，一般是利用函數(shù)圖象結(jié)合不等式來解，此題綜合考查了一元二次方程在指定區(qū)間上方程根的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的性質(zhì)然后進(jìn)一步研究函數(shù)的圖象，最后對(duì)三次方程根的個(gè)數(shù)加以判斷．所以作為一個(gè)選擇題難度有些大．