Question

數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n(n∈N^*).
(1)計算a₁,a₂,a₃,a₄,并由此猜想通項公式a_n;
（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想.

Answer 1

（1）a₁=1，a₂= a₃= a₄= a_n=(n∈N^*)（2）證明略

（1）解 當n=1時，a₁=S₁=2-a₁,∴a₁=1.
當n=2時，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂,∴a₂=.
當n=3時，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃,∴a₃=.
當n=4時，a₁+a₂+a₃+a₄=S₄=2×4-a₄,∴a₄=.
由此猜想a_n=(n∈N^*).
（2）證明 ①當n=1時，a₁=1，結論成立.
②假設n=k(k≥1且k∈N^*)時,結論成立，即a_k=,
那么n=k+1時，
a_k+1=S_k+1-S_k=2(k+1)-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1.
∴2a_k+1=2+a_k,
∴a_k+1===,
這表明n=k+1時，結論成立，
由①②知猜想a_n=（n∈N^*）成立.