Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d大于0，且a₂,a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n=1-.
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較與S_n+1的大小，并說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）a_n=2n-1，b_n=（2）n≥4時(shí)，＞S_n+1.

1）由已知得,
又∵{a_n}的公差大于0，∴a₅＞a₂,∴a₂=3,a₅=9.
∴d= ==2，a₁=1.∴a_n="2n-1.                          " 2分
∵T_n=1-b_n，∴b₁=，
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-1=1-b_n-1,
∴b_n=T_n-T_n-1=1-b_n-(1-b_n-1),
化簡(jiǎn)，得b_n=b_n-1,
∴{b_n}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，
即b_n=·=,                                           4分
∴a_n=2n-1，b_n=.                                         5分
(2)∵S_n==n²,
∴S_n+1=（n+1）²，=.                                      6分
以下比較與S_n+1的大小：
當(dāng)n=1時(shí)，=，S₂=4，∴＜S₂,
當(dāng)n=2時(shí)，=,S₃=9,∴＜S₃,
當(dāng)n=3時(shí)，=,S₄=16,∴＜S₄,
當(dāng)n=4時(shí)，=,S₅=25,∴＞S₅.
猜想：n≥4時(shí)，＞S_n+1.                                       8分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=4時(shí)，已證.
②假設(shè)當(dāng)n="k" (k∈N^*,k≥4)時(shí)，＞S_k+1,即＞(k+1)².
那么n=k+1時(shí)，
==3·＞3(k+1)²=3k²+6k+3
=(k²+4k+4)+2k²+2k-1＞［(k+1)+1］²
=S_(k+1)+1,
∴n=k+1時(shí)，＞S_n+1也成立.                                    11分
由①②可知n∈N^*,n≥4時(shí)，＞S_n+1都成立.                           14分
綜上所述，當(dāng)n=1,2,3時(shí)，＜S_n+1,
當(dāng)n≥4時(shí)，＞S_n+1.                                           16分