Question

某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現：如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥
后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間x（小時）之間滿足，其對應曲線（如圖所示）過點．
（1）試求藥量峰值（y的最大值）與達峰時間（y取最大值時對應的x值）；
（2）如果每毫升血液中含藥量不少于1微克時治療疾病有效，那么成人按規(guī)定劑量服用該藥一次后能維持多長的有效時間？（精確到0.01小時）

Answer 1

解：（1）由曲線過點，可得，故a=8…（2分）
當0＜x＜1時，，…（3分）
當x≥1時，設2^x-1=t，可知t≥1，（當且僅當t=1時，y=4）…（5分）
綜上可知y_max=4，且當y取最大值時，對應的x值為1
所以藥量峰值為4mg，達峰時間為1小時． …（6分）
（2）當0＜x＜1時，由，可得x²-8x+1=0，
解得，又，故． …（8分）
當x≥1時，設2^x-1=t，則t≥1，
由，可得，解得，
又t≥1，故，所以，
可得．　　　　　　　　 …（12分）
由圖象知當y≥1時，對應的x的取值范圍是，
∵，
所以成人按規(guī)定劑量服用該藥一次后能維持大約3.85小時的有效時間． …（14分）
分析：（1）由曲線過點，代入曲線方程，求出a值，確定函數關系式；再分別求出分段函數各段上的最大值進行比較，從而得出藥量峰值（y的最大值）與達峰時間；
（2）把y=1分別代入兩個函數關系式求時間，再求時間差，即可得出服用該藥一次后能維持多長的有效時間．
點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及分段函數求解析式和指數不等式的求解，同時考查了計算能力，屬于中檔題．