【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,直線的極坐標(biāo)方程為,直線交圓于兩點(diǎn),為中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程;
(2)若,求的值.
【答案】(1) ,.(2) 或.
【解析】
(1)聯(lián)立極坐標(biāo)方程,利用為中點(diǎn)與韋達(dá)定理分析求解即可.
(2)根據(jù)極經(jīng)的幾何意義分別表示,再利用韋達(dá)定理求關(guān)于的方程求解即可.
解法一:(1)圓的極坐標(biāo)方程為
將代入得:
,
成立,
設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極徑分別為,
所以,
所以,
所以點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為,.
(2)由(1)得,
,
所以,,
又,所以或,
即或
解法二:
(1)因?yàn)?/span>為中點(diǎn),
所以于,
故的軌跡是以為直徑的圓(在的內(nèi)部),
其所在圓方程為:,
即.
從而點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為,.
(2)由(1)得,
,
令,因?yàn)?/span>,所以,
則,
所以,所以,
即,解得(舍去),
所以,
又,,
所以或,
即或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足.又曲線上的點(diǎn)A、B滿足.
(1)求曲線的方程;
(2)若點(diǎn)A在第一象限,且,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(3)求證:原點(diǎn)到直線AB的距離為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性.
(2)試問是否存在,使得對(duì)恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)(點(diǎn)與、不重合),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
①存在點(diǎn),使得平面平面;
②存在點(diǎn),使得平面;
③若的面積為,則;
④若、分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點(diǎn),使得.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)列為函數(shù)圖像上的點(diǎn),點(diǎn)列順次為軸上的點(diǎn),其中,對(duì)任意,點(diǎn)構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形.
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列中任意連續(xù)三項(xiàng)能構(gòu)成三角形的三邊,求的取值范圍;
(3)求證:對(duì)任意,是常數(shù),并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰梯形中,兩腰,底邊,,,是的三等分點(diǎn),是的中點(diǎn).分別沿,將四邊形和折起,使,重合于點(diǎn),得到如圖2所示的幾何體.在圖2中,,分別為,的中點(diǎn).
(1)證明:平面.
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個(gè)半圓中有兩個(gè)互切的內(nèi)切半圓,由三個(gè)半圓弧圍成曲邊三角形,作兩個(gè)內(nèi)切半圓的公切線把曲邊三角形分隔成兩塊,阿基米德發(fā)現(xiàn)被分隔的這兩塊的內(nèi)切圓是同樣大小的,由于其形狀很像皮匠用來切割皮料的刀子,他稱此為“皮匠刀定理”,如圖,若,則陰影部分與最大半圓的面積比為( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn),求的值(其中表示不超過的最大整數(shù),如.
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:雙曲線:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過作直線交軸于點(diǎn).
(1)當(dāng)直線平行于的一條漸近線時(shí),求點(diǎn)到直線的距離;
(2)當(dāng)直線的斜率為時(shí),在的右支上是否存在點(diǎn),滿足?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)若直線與交于不同兩點(diǎn)、,且上存在一點(diǎn),滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的方程.
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