設(shè)f（x）=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常數(shù)a，b∈R．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x）e-x．求函數(shù)g（x）的極值．
（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=-3
令x=2，得f'（2）=12+4a+b=-b，因此12+4a+b=-b，解得a=-
3
2
，因此f（x）=x3-
3
2
x2-3x+1
∴f（1）=-
5
2
，
又∵f'（1）=2×（-
3
2
）=-3，
故曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-（-
5
2
）=-3（x-1），即6x+2y-1=0．

（II）由（I）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x
從而有g(shù)'（x）=（-3x2+9x）e-x
令g'（x）=0，則x=0或x=3
∵當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g'（x）＜0，
當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，g'（x）＞0，
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，
∴g（x）=（3x2-3x-3）e-x在x=0時(shí)取極小值g（0）=-3，在x=3時(shí)取極大值g（3）=15e-3
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若函數(shù)f（x）=ax3-bx+4，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）有極值為-
4
3
，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）=k有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=alnx-x2，x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[
1
e
，e]內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求m的取值范圍（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（3）令g（x）=f（x）+3x，若g（x）的圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），求證：
5
2
＜x2-x1＜
7
2
．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7 e≈2.7）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若曲線y=x3上的點(diǎn)P處的切線的斜率為3，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（　�。�
A．（-2，-8）B．（-1，-1）C．（-2，-8）或（2，8）D．（-1，-1）或（1，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

lim
x→1
(
2
x2-1
-
1
x-1
)=（　�。�
A．-1B．-
1
2
C．
1
2
D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

曲線y=x2-x上點(diǎn)A（2，2）處的切線與直線2x-y+5=0的夾角的正切值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知曲線y=
x2
4
-3lnx的一條切線的斜率為
5
4
，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（　�。�
A．1B．-
3
2
C．4D．4或-
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)f（x）=-1+3x-x3有（　　）
A．極小值為-2，極大值為0
B．極小值為-3，極大值為-1
C．極小值為-3，極大值為1
D．極小值為3，極大值為1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若曲線y=x3+ax在原點(diǎn)處的切線方程是2x-y=0，則實(shí)數(shù)a=______．

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