【題目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為正方形,延長(zhǎng)AB到D,使得AD=BD,平面AA1C1C⊥平面ABB1A1 , A1C1= AA1 , ∠C1A1A= .
(1)若E,F(xiàn)分別為C1B1 , AC的中點(diǎn),求證:EF∥平面ABB1A1;
(2)求平面A1B1C1與平面CB1D所成的銳二面角的余弦值.
【答案】
(1)證明:取A1C1的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,EG,
在△A1B1C1中,EG為中位線,∴EG∥A1B1,
∴GE平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,
∴GE∥ABB1A1,同理得GF∥平面ABB1A1,
又GF∩GE=G,∴平面GEF∥平面ABB1A1,
∵EF平面GEF,∴EF∥平面ABB1A1.
(2)解:連結(jié)AC1,在△AA1C1中, , ,
∴由余弦定理得 = + ﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1= ,
∴AA1=AC1,△A1AC1是等腰直角三角形,AC1⊥AA1,
又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1,
∴AC1⊥平面ABB1A1,
∵AB平面ABB1A1,∴AC1⊥AB,
又∵側(cè)面ABB1A1為正方形,∴AA1⊥AB,
分別以AA1,AB,AC1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AB=1,則A(0,0,0),A1(1,0,0),B1(1,1,0),
C1(0,0,1),C(﹣1,0,1),D(0,2,0),
∴ =(2,1,﹣1), =(1,2,﹣1), =(﹣1,0,1), =(0,1,0),
設(shè)平面A1B1C1的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=1,得 =(1,0,1),
設(shè)平面CB1D的法向量 =(a,b,c),
則 ,取a=1,得 =(1,1,3),
cos< >= = = ,
∴平面A1B1C1與平面CB1D所成的銳二面角的余弦值為 .
【解析】(1)取A1C1的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,EG,則EG∥A1B1 , 從而GE∥ABB1A1 , 同理得GF∥平面ABB1A1 , 從平面GEF∥平面ABB1A1 , 由此能證明EF∥平面ABB1A1 . (2)連結(jié)AC1 , 推導(dǎo)出AC1⊥AA1 , 從而AC1⊥平面ABB1A1 , 再求出AC1⊥AB,AA1⊥AB,分別以AA1 , AB,AC1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面A1B1C1與平面CB1D所成的銳二面角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),將的圖象向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,設(shè),已知對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】制定投資計(jì)劃時(shí),不僅要考慮可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測(cè),甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元,要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元.問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是()
①若直線與直線平行,則直線平行于經(jīng)過直線的所有平面;②平行于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行;③若是兩條直線,是兩個(gè)平面,且,,則是異面直線;④若直線恒過定點(diǎn)(1,0),則直線方程可設(shè)為.
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市理論預(yù)測(cè)2010年到2014年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示
年份2010+x(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人口數(shù)y(十萬) | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2) 據(jù)此估計(jì)2015年該城市人口總數(shù)。
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【題目】如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1中點(diǎn).
(1)求證:AB1⊥平面A1BD;
(2)求銳二面角A-A1D-B的余弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=3sin(4x+ )圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,再向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則y=g(x)圖象的一條對(duì)稱軸是( )
A.x=
B.x=
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinxcos(x+ )+ .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的最大值及最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)= sin2x﹣ cos2x+1的圖象向左平移 個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則下列關(guān)予函數(shù)y=g(x)的說法錯(cuò)誤的是( )
A.函數(shù)y=g(x)的最小正周期為π
B.函數(shù)y=g(x)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=
C. g(x)dx=
D.函數(shù)y=g(x)在區(qū)間[ , ]上單調(diào)遞減
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