Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，f（x）=x²．若對任意x∈[k，k+2]，不等式f（x+k）≤f（3x）恒成立，則g（k）=log₂|k|的最小值是（　　）

• A、2
• B、

  1

  2

• C、-

  1

  2

• D、-2

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性與奇偶性，結(jié)合x∈[k，k+2]時，不等式f（x+k）≤f（3x）恒成立，求出k的取值范圍，即可求出g（k）的最小值．

解答： 解：∵當(dāng)x＜0時，f（x）=x²，
∴此時函數(shù)f（x）是減函數(shù)，
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在R上的減函數(shù)；
又對任意x∈[k，k+2]，不等式f（x+k）≤f（3x）恒成立，
則x+k≥3x恒成立，
即k≥2x恒成立，
∵x∈[k，k+2]，
∴（2x）_max=2（k+2）=2k+4，
即k≥2k+4，
解得k≤-4，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-4]；
∴g（k）=log₂|k|的最小值是
g（-4）=log₂|-4|=2．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了不等式的恒成立問題，是綜合性題目．