Question

平面ABDE⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，AE=2BD=4，O、M分別為CE、AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 證明：OD∥平面ABC；
（Ⅱ）能否在EM上找一點(diǎn)N，使得ON⊥平面ABDE？若能，請(qǐng)指出點(diǎn)N的位置，并加以證明；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）取AC中點(diǎn)F，證明OF∥DB，OF=DB，得到四邊形BDOF是平行四邊形．故OD∥FB，從而證明OD∥面ABC．
（II）當(dāng)N是EM中點(diǎn)時(shí)，ON⊥平面ABDE．先證明CM⊥面ABDE，再由ON∥CM，可得ON⊥平面ABDE．

解答：解：（I）證明：取AC中點(diǎn)F，連接OF、FB．∵F是AC的中點(diǎn)，O為CE的中點(diǎn)，∴OF∥EA，且OF=

1

2

EA，
又BD∥AE，且BD=

1

2

AE，∴OF∥DB，OF=DB，∴四邊形BDOF是平行四邊形．∴OD∥FB．
又∵FB?平面ABC，OD不在平面ABC內(nèi)，∴OD∥面ABC．
（II）當(dāng)N是EM中點(diǎn)時(shí)，ON⊥平面ABDE．
證明：取EM中點(diǎn)N，連接ON、CM，AC=BC，M為AB中點(diǎn)，∴CM⊥AB，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，CM?面ABC，
∴CM⊥面ABDE，∵N是EM中點(diǎn)，O為CE中點(diǎn)，∴ON∥CM，
∴ON⊥平面ABDE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，取AC中點(diǎn)F，EM中點(diǎn) N，是解題的關(guān)鍵．