Question

平面上有兩個(gè)向量e₁=(1,0),e₂=(0,1),今有動(dòng)點(diǎn)P從P₀(-1,2)開始沿著與向量e₁+e₂相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),速度為|e₁+e₂|；另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)Q₀(-2,-1)出發(fā),沿著與向量3e₁+2e₂相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),速度為|3e₁+2e₂|.設(shè)P、Q在時(shí)刻t=0秒時(shí)分別在P₀、Q₀處,則當(dāng)⊥時(shí),用了多長時(shí)間?

Answer 1

思路解析:此題考查兩向量垂直的充要條件及向量的坐標(biāo)運(yùn)算,新穎之處在于與物理中的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系在一起.由題意知,向量是確定的,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別沿e₁+e₂、3e₁+2e₂的方向勻速運(yùn)動(dòng),寫出時(shí)刻t時(shí)點(diǎn)P、Q的位置,用t表示.根據(jù)⊥的充要條件建立方程,可求出t的值.

解:由已知P₀(-1,2),Q₀(-2,-1)可得=(-1,-3),

∵3e₁+2e₂=(3,2),

∴|3e₁+2e₂|=.

∴當(dāng)t時(shí)刻時(shí),點(diǎn)P的位置為(-1+t,2+t),點(diǎn)Q的位置為(-2+3t,-1+2t).

∴=(-1+2t,-3+t).

∵⊥,∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0.

解得t=2,

∴用了2秒鐘, ⊥.