Question

【題目】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A．點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心，為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M，N．

（Ⅰ）若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求；

（Ⅱ）若，求圓C的半徑．

Answer 1

【答案】（1）2（2）

【解析】試題分析：由拋物線的方程表示出焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，求出到準(zhǔn)線的距離，再利用圓中弦長(zhǎng)公式即可求出

設(shè)，表示出圓的方程，與拋物線解析式聯(lián)立組成方程組，設(shè)，利用韋達(dá)定理表示出，利用，得，解得的縱坐標(biāo)，從而得到圓心的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出，即為圓的半徑。

解析：（Ⅰ）拋物線的準(zhǔn)線l的方程為

由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）

∴點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d=2，又，

∴

（Ⅱ）設(shè)，則圓C的方程為

即．

由，得．

設(shè)，則

，

由，得

∴，解得，此時(shí)．

∴圓心C的坐標(biāo)為，

從而，

即圓C的半徑為

點(diǎn)睛:本題主要考查了拋物線的方程，圓的方程與性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查了函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等難度題。