Question

如果x為實(shí)數(shù)，那么

x2

1+x4

≤

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：當(dāng)x=0時(shí)，原不等式顯然成立；當(dāng)x≠0時(shí)，由基本不等式可得

1

x2

+x2≥2，可得

x2

1+x4

=

1

1 x2 +x2

≤

1

2

，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)x=0時(shí)，原不等式顯然成立；
當(dāng)x≠0時(shí)，則x²≠0，
分子分母同除以x²可得

x2

1+x4

=

1

1 x2 +x2

，
由基本不等式可得

1

x2

+x2≥2

1 x2 •x2

=2，
∴

x2

1+x4

=

1

1 x2 +x2

≤

1

2

當(dāng)且僅當(dāng)

1

x2

=x²即x=±1時(shí)取等號(hào)．
綜上可得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有

x2

1+x4

≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式求最值，涉及不等式的性質(zhì)和分類討論的思想，屬中檔題．