Question

根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：
（1）0，3，8，15，24，…；
（2）

1

2

，

3

4

，

7

8

，

15

16

，

31

32

，…；
（3）

2

3

，-1，

10

7

，-

17

9

，

26

11

，-

37

13

，…

Answer 1

考點：數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）數(shù)列可以變形為：1²-1，2²-1，3³-1，4²-1，5²-1，…，即可得出．
（2）通過公差可得：分母為2ⁿ，分子=2ⁿ-1，可得通項公式an=

2n-1

2n

；
（3）每一項的符號為（-1）ⁿ⁺¹，其絕對值為：

2

3

，

5

5

，

10

7

，

17

9

，

26

11

，

37

13

，…，其分母為2n+1，分子5-2=3，10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…，其差為等差數(shù)列，即可得出．

解答： 解：（1）0，3，8，15，24，…，可得an=n2-1；
（2）

1

2

，

3

4

，

7

8

，

15

16

，

31

32

，…，可得分母為2ⁿ，分子=2ⁿ-1，于是通項公式an=

2n-1

2n

；
（3）

2

3

，-1，

10

7

，-

17

9

，

26

11

，-

37

13

，…，每一項的符號為（-1）ⁿ⁺¹，其絕對值為：

2

3

，

5

5

，

10

7

，

17

9

，

26

11

，

37

13

，…，其分母為2n+1，分子5-2=3，10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…，其差為等差數(shù)列，首項為2，公差為2，設(shè)分子為數(shù)列{b_n}，利用“累加求和”可得：b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=n²+1，∴通項公式為an=(-1)n+1•

n2+1

2n+1

．

點評：本題考查了通項公式的求法、等差數(shù)列的通項公式，考查了觀察分析猜想歸納能力，屬于基礎(chǔ)題．