如圖,在三棱錐A-BOC中,AO⊥底面BOC,∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,BC=2
2
,動(dòng)點(diǎn)D在線段AB上.
(Ⅰ)求證:平面COD⊥平面AOB;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí),求二面角D-CO-B的大;
(Ⅲ)當(dāng)CD與平面AOB所成角最大時(shí),求三棱錐C-OBD的體積.

(Ⅰ)證明:∵AO⊥底面BOC,∴AO⊥OC,AO⊥OB.
∵∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,∴OC=OB=2.(2分)
BC=2
2
,∴OC⊥OB,∴OC⊥平面AOB.(4分)
∵OC?平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.(5分)
(Ⅱ):由(Ⅰ)知OC⊥平面AOB,
∴OC⊥OB,OC⊥OD,
∴∠DOB是二面角D-CO-B的平面角.(7分)
∵D為AB的中點(diǎn),∴OD=2,BD=2,
又OB=2,∴∠DOB=60°,
∴二面角D-CO-B的大小為60°.(9分)
(Ⅲ):∵OC⊥平面AOB,CD交平面AOB于D,
∴∠CDO是CD與平面AOB所成角.(10分)
tan∠CDO=
OC
OD
=
2
OD
,據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性知,當(dāng)OD最小時(shí),∠CDO最大,
∴取OD⊥AB,OD=
3
為最小值,此時(shí),BD=1.(12分)
∴VC-OBD=
1
3
×
1
2
×
3
×1×2=
3
3

即CD與平面AOB所成角最大時(shí),三棱錐C-OBD的體積為
3
3
.(14分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
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2
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(2)求證:平面APE⊥平面APF.

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如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,ED⊥平面ABCD,ED=1,EFBD且KF=
1
2
BD.
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(Ⅱ)求證:平面AFC⊥平面EFC.

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