若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且存在常數(shù)m>0,對(duì)任意x∈R,有|f(x)|≤m|x|,則稱f(x)為F函數(shù).給出下列函數(shù):
①f(x)=x2,②f(x)=sinx+cosx,③f(x)=
x
x2+x+1
,④f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)x1,x2均有|f(x1)-f(x2)|≤2012|x1-x2|,⑤f(x)=x
1
2
,其中是F函數(shù)的有
③④
③④
分析:本題是一個(gè)新定義的題目,故依照定義的所給的規(guī)則對(duì)所四個(gè)函數(shù)進(jìn)行逐一驗(yàn)證,選出正確的即可.
解答:解:對(duì)于①,∵f(x)=x2,∴|f(x)|≤m|x|不成立,故①不是F-函數(shù);
對(duì)于②,∵f(x)=sinx+cosx,∴x=0時(shí),|f(x)|<m|x|不成立,故②不是F函數(shù);
對(duì)于③,∵f(x)=
x
x2+x+1
,∴要使|f(x)|≤m|x|成立,
即|
x
x2+x+1
|≤m|x|,
當(dāng)x=0時(shí),m可取任意正數(shù);當(dāng)x≠0時(shí),只須m≥|
x
x2+x+1
|的最大值.
因?yàn)閤2+x+1=(x+
1
2
)2+
3
4
3
4

所以m≥
4
3
時(shí),f(x)=
x
x2+x+1
是F函數(shù),故③是F函數(shù);
對(duì)于④,∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)x1,x2均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|,
∴令x1=x,x2=0,由奇函數(shù)的性質(zhì)知,f(0)=0,
故有|f(x)|<2|x|.故④是F函數(shù).
對(duì)于⑤,∵f(x)=x
1
2
,∴|f(x)|≤m|x|不成立,故⑤不是F函數(shù).
故答案為:③④.
點(diǎn)評(píng):本題考查根據(jù)所給的新定義來(lái)驗(yàn)證函數(shù)是否滿足定義中的規(guī)則,是函數(shù)知識(shí)的給定應(yīng)用題,綜合性較強(qiáng),做題時(shí)要注意運(yùn)用所深知識(shí)靈活變化進(jìn)行證明.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(2)=0,則使得(x-1)f(x)<0的x的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(2)=0,則使得f(x-1)<0的x的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(1)=0,則使得f(x)<0的x得取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列命題中:
①若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,則g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函數(shù);
②若f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),對(duì)于任意的x∈R都有f(x)+f(2+x)=0,則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱;
③已知x1,x2是函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的兩個(gè)值,且x1<x2,若f(x1)>f(x2),則f(x)是減函數(shù);
④若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)也為奇函數(shù),則f(x)是以4為周期的周期函數(shù).
其中正確的命題序號(hào)是
①④
①④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sinx
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)的定義為R,求函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π2
]
上是不是單調(diào)函數(shù)?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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