Question

下列命題中：
①若函數(shù)f（x）的定義域為R，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)；
②若f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，對于任意的x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
③已知x₁，x₂是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的兩個值，且x₁＜x₂，若f（x₁）＞f（x₂），則f（x）是減函數(shù)；
④若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）也為奇函數(shù)，則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
其中正確的命題序號是

①④

．

Answer 1

分析：由偶函數(shù)的定義，可判斷①的真假；由函數(shù)對稱性滿足的條件，及函數(shù)周期性的性質(zhì)，可以判斷②的真假；由減函數(shù)的定義，可判斷③的真假；由周期函數(shù)的定義及性質(zhì)，可以判斷④的真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：①若函數(shù)f（x）的定義域為R，
g（x）=f（x）+f（-x）
∴g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），
故g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)一定是偶函數(shù)，故①正確；
②∵定義域為R的奇函數(shù)f（x），對于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，
則f（x）=f（x-2），它表示函數(shù)是一個周期為2的周期函數(shù)，其圖象不一定是軸對稱圖形，
故②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱為假命題；
③若f（x）是減函數(shù)，則要求任意x₁＜x₂，均有f（x₁）＞f（x₂），由于③中x₁，x₂是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的兩個值，不具有任意性，故③為假命題；
④若f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f （x+2）也為奇函數(shù)，
則f （x）是以4為周期的周期函數(shù)，故④為真命題．
故答案為：①④．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)圖象的對稱性，及函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的判定法則及函數(shù)性質(zhì)的定義是解答本題的關(guān)鍵．