Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)的面積為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）且時，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在兩個定點(diǎn)，使得當(dāng)直線運(yùn)動時，為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，或，，使得為定值．

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由于已知離心率為，這樣可得，從而可得，從而可設(shè)可橢圓方程為，再把橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)代入可解得，得橢圓方程；

（2）由題設(shè)結(jié)論可知中點(diǎn)的坐標(biāo)適合一個橢圓方程，即點(diǎn)在橢圓上，那么題中要求的定點(diǎn)就是橢圓的焦點(diǎn)．實(shí)質(zhì)上從問題出發(fā)，就讓我們想到點(diǎn)應(yīng)該在某個橢圓上．因此從這方面入手，就要求的軌跡方程，因此我們從已知出發(fā)先找出參數(shù)的關(guān)系，再求出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示），然后消去參數(shù)可得．

具體方法：由直線方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去后得的一元二次方程：，已知保證，即直線與橢圓一定相交，設(shè)，可得，于是有，從而點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線圓錐曲線相交弦長公式可得弦長，由點(diǎn)到直線距離公式可得原點(diǎn)點(diǎn)到直線的距離為，利用的面積為可得滿足的關(guān)系：，

試題解析：（1）由于橢圓的離心率為，則，故橢圓：

又橢圓過點(diǎn)，從而，從而橢圓的方程為．

（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，并設(shè)，聯(lián)立方程，

得，則

從而，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為

由于，點(diǎn)到直線的距離為，

則的面積

由題得：，

從而化簡得：

故，即或，

又由于，從而．

當(dāng)時，由于，，

從而

即點(diǎn)在橢圓上．

由橢圓的定義得，存在點(diǎn)，或，，

使得為定值．