【題目】已知三棱柱中,平面,于點(diǎn),點(diǎn)在棱上,滿足.

,求證:平面;

設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為,若,試判斷命題的真假,并說明理由.

【答案】證明見解析 假命題,理由見解析

【解析】

根據(jù)題意,設(shè),以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線為軸,過平行的直線為軸,以所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的一個(gè)法向量,只需證明,即可得出結(jié)論成立;

根據(jù)中建立的坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量,表示出兩向量的夾角,根據(jù)題意,即可求出結(jié)果.

因?yàn)?/span>,設(shè),則

,所以,,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線為軸,過平行的直線為軸,以所在的直線為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

所以,

,

所以,

所以,所以,

,

設(shè)為平面的法向量,則

,取,則,

所以,而,所以

又因?yàn)橹本在平面外,

所以平面 .

可知,,

因?yàn)?/span>,所以.

所以,

所以,所以

,設(shè)為平面的法向量.

,即,

,則

,

因?yàn)?/span>平面,所以,因?yàn)?/span>,

所以的法向量平行,

,

設(shè)平面與平面所成銳二面角為

所以

對(duì)于,若把看作的函數(shù).

則此函數(shù)在上是單調(diào)遞增的,在是單調(diào)遞減的,

所以,所以,

所以不存在,使得,

命題是假命題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. B. C. D. 10

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A. B. C. D.

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A. 5或16B. 16C. 5或32D. 4或5或32

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