Question

平面上有n條直線，它們?nèi)我鈨蓷l不平行，任意三條不共點(diǎn)．設(shè)n（n≥1，n∈N）條這樣的直線把平面分成f（n）個(gè)區(qū)域，試求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5）．由此猜想出f（n）并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：1條直線把平面分成2個(gè)區(qū)域，2條直線馬平面分成2+2個(gè)區(qū)域，3條把平面分成2+2+3個(gè)區(qū)域，4條直線把平面分成2+2+3+4個(gè)區(qū)域，由此可知若n條直線把平面分成f（k）個(gè)區(qū)域，則f（k+1）-f（k）=k+1．猜想f（n）=

n2+n+2

2

，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明即可．

解答： 解：由題意，f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，f（4）=11，f（5）=16----4分
猜想f（n）=

n2+n+2

2

-----8分
證明：①當(dāng)n=1時(shí) 上式顯然成立
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥）時(shí)成立，即f(k)=

k2+k+2

2

成立
則當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1條直線與前k條直線相交有k個(gè)交點(diǎn)，
所以k個(gè)交點(diǎn)將第k+1條直線分成k+1份，每一份將原來(lái)的區(qū)間分成2份，
所以在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加了k+1個(gè)區(qū)間．--------12分
所以f（k+1）=f（k）+k+1=

k2+k+2

2

+k+1=

(k+1)2+(k+1)+2

2

所以當(dāng)n=k+1時(shí)成立----------13分
綜合①②，所以猜想成立-------14分．

點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的步驟是：第一步驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時(shí)成立，本題是一個(gè)中檔題目．