Question

給出如下五個結(jié)論：
①不存在α∈（0，

π

2

），使sinα+cosα=

1

3

；
②存在區(qū)間（a，b），使y=cosx為減函數(shù)而sinx＜0；
③y=tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)；
④函數(shù)y=lgx-sinx只有一個零點；
⑤y=sin|2x+

π

6

|的最小正周期為π．
其中正確結(jié)論為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：推出α∈（0，

π

2

），sinα+cosα＞1，即可判斷①；求出sinx＜0的區(qū)間，再判斷是否是y=cosx的減區(qū)間，即可判斷②；寫出y=tanx的增區(qū)間，從而判斷③；分別畫出y=sinx，y=lgx的圖象，觀察即可判斷④；運(yùn)用周期函數(shù)的定義，驗證f（x+

π

2

）=f（x），即可判斷⑤．

解答： 解：①若α∈（0，

π

2

），則sinα+cosα=

(sinα+cosα)2

=

1+2sinαcosα

＞1，故①正確；
②當(dāng)x∈（π+2kπ，2π+2kπ），k∈Z，sinx＜0，但y=cosx為增函數(shù)，故②錯；
③y=tanx在（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

）內(nèi)是增函數(shù)，故③錯；
④通過畫出y=lgx和y=sinx的圖象，由于sinx最大為1，故當(dāng)x＞10時無交點，可知有3個交點，故④錯；
⑤由于sin|2（x+

π

2

）+

π

6

|=sin|2x+

π

6

+π|=sin|2x+

π

6

|，故函數(shù)的最小正周期為

π

2

，故⑤錯．
故答案為：①

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記這些性質(zhì)是迅速解題的關(guān)鍵，掌握函數(shù)的零點問題，可通過圖象求交點解決．