Question

已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-3，0），（3，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于k（k≠0），試探究頂點(diǎn)C的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，由AC，BC所在直線的斜率之積等于k（k≠0），列式整理得到頂點(diǎn)C的軌跡的方程，然后分k的不同取值范圍判斷軌跡為何種圓錐曲線．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），由題意得k_AC•k_BC=k，所以

y

x+3

×

y

x-3

=k（x≠±3）
又k≠0整理可得，

x2

9

-

y2

9k

=1（x≠±3）；       …（4分）
當(dāng)k＜-1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在y軸的橢圓，除兩點(diǎn)（-3，0），（3，0）；    …（6分）
當(dāng)k=-1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是圓x²+y²=9，并除去兩點(diǎn)（-3，0），（3，0）；      …（8分）
當(dāng)-1＜k＜0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，除兩點(diǎn)（-3，0），（3，0）；      …（10分）
當(dāng)k＞0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，除兩點(diǎn)（-3，0），（3，0）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．