Question

定義向量=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為=（a，b）（其中O為坐標原點），記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S。
（1）設(shè)g（x）=3sin（x+）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）²+y²=1上一點，向量的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x₀處取得最大值，當點M在圓C上運動時，求tan2x₀的取值范圍。

Answer 1

解：（1）g（x）=3sin（x+ ）+4sinx=4sinx+3cosx，
其‘相伴向量’ =（4，3），g（x）∈S。
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx =（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx =-sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函數(shù)h（x）的‘相伴向量’ =（-sinα，cosα+2）
則| |= = 。
（3）的‘相伴函數(shù)’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），
其中cosφ=，sinφ=．
當x+φ=2kπ+，k∈Z時，f（x）取到最大值，故x₀=2kπ+-φ，k∈Z
∴tanx₀=tan（2kπ+-φ）=cotφ=，tan2x₀===
為直線OM的斜率，由幾何意義知：∈[-，0）∪（0，]
令m=，則tan2x₀=，m∈[-，0）∪（0，}
當-≤m＜0時，函數(shù)tan2x₀=單調(diào)遞減，
∴0＜tan2x₀≤；
當0＜m≤時，函數(shù)tan2x₀=單調(diào)遞減，
∴-≤tan2x₀＜0
綜上所述，tan2x₀∈[-，0）∪（0，]。