Question

（2012•上海）定義向量

OM

=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為

OM

=（a，b）（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
（1）設(shè)g（x）=3sin（x+

π

2

）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）²+y²=1上一點(diǎn)，向量

OM

的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x₀處取得最大值．當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用誘導(dǎo)公式對(duì)其化簡(jiǎn)，再結(jié)合定義即可得到證明；
（2）先根據(jù)定義求出其相伴向量，再代入模長(zhǎng)計(jì)算公式即可；
（3）先根據(jù)定義得到函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x₀；再結(jié)合幾何意義求出

b

a

的范圍，最后利用二倍角的正切公式即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）g（x）=3sin（x+

π

2

）+4sinx=4sinx+3cosx，
其‘相伴向量’

OM

=（4，3），g（x）∈S．
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx
=（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx
=-sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函數(shù)h（x）的‘相伴向量’

OM

=（-sinα，cosα+2）．
則|

OM

|=

(-sinα) 2+(cosα+2) 2

=

5+4cosα

．
（3）

OM

的‘相伴函數(shù)’f（x）=asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ），
其中cosφ=

a

a2+b2

，sinφ=

b

a2+b2

．
當(dāng)x+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z時(shí)，f（x）取到最大值，故x₀=2kπ+

π

2

-φ，k∈Z．
∴tanx₀=tan（2kπ+

π

2

-φ）=cotφ=

a

b

，
tan2x₀=

2tanx0

1-tan 2x0

=

2× a b

1-( a b )2

=

2

b a - a b

．

b

a

為直線OM的斜率，由幾何意義知：

b

a

∈[-

3

3

，0）∪（0，

3

3

]．
令m=

b

a

，則tan2x₀=

2

m- 1 m

，m∈[-

3

3

，0）∪（0，

3

3

}．
當(dāng)-

3

3

≤m＜0時(shí)，函數(shù)tan2x₀=

2

m- 1 m

單調(diào)遞減，∴0＜tan2x₀≤

3

；
當(dāng)0＜m≤

3

3

時(shí)，函數(shù)tan2x₀=

2

m- 1 m

單調(diào)遞減，∴-

3

≤tan2x₀＜0．
綜上所述，tan2x₀∈[-

3

，0）∪（0，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本體主要在新定義下考查平面向量的基本運(yùn)算性質(zhì)以及三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)．是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查，需要有比較扎實(shí)的基本功．