Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0），O為坐標原點，離心率e=2，點M（

5

，

3

）在雙曲線上．
（1）則雙曲線的方程為

 

；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且

OP

•

OQ

=0．則

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

的值為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用雙曲線的離心率e=2，點M（

5

，

3

）在雙曲線上，建立方程，結(jié)合c²=a²+b²，即可求得雙曲線的方程；
（2）設OP直線方程為y=kx，OQ直線方程為y=-

1

k

x，分別與雙曲線方程聯(lián)立，計算

1

|OP|2

、

1

|OQ|2

可求得

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

的值．

解答： 解：（1）∵雙曲線的離心率e=2，點M（

5

，

3

）在雙曲線上，
∴

c

a

=2，

5

a2

-

3

b2

=1，
∵c²=a²+b²
∴a²=4，b²=12，
∴雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1；
（2）設OP直線方程為y=kx，OQ直線方程為y=-

1

k

x，
y=kx代入雙曲線方程，可得

x2

4

-

k2x2

12

=1，
∴x²=

12

3-k2

，y²=

12k2

3-k2

，
∴

1

|OP|2

=

1

x2+y2

=

3-k2

12(1+k2)

；
同理，

1

|OQ|2

=

3k2-1

12(1+k2)

．
則

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

2+2k2

12(1+k2)

=

1

6

．
故答案為：

x2

4

-

y2

12

=1，

1

6

．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．