如圖，已知△ABCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=2，CD=
3
，AB=
3
，E是AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若F是AD的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）若AF=2FD，求平面BEF與平面BCD所成的銳二面角的大�。�
分析：（Ⅰ）通過證明CD⊥平面ABC，CD∥EF，說明EF?平面BEF，即可證明平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）求出平面BEF與平面BCD，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．
∵E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC，
∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則
B（2，0，0），D（0，
3
，0），A（2，0，
3
）
∵
AE
EC
=1，∴E（1，0，
3
2
）
∵
AF
FD
=2，∴F（
2
3
，
2
3
3
，
3
3
）
∴
BE
=（-1，0，
3
2
），
BF
=(-
4
3
，
2
3
3
，
3
3
)，
設(shè)
n
=（x，y，z），則
n
⊥平面BEF，∴
-x+
3
2
z=0
-
4x
3
+
2
3
3y
+
3
3
z=0
，取
n
=(
3
2
，
1
2
，1)
∵平面BCD的法向量是
m
=（0，0，1），∴cos＜
n
，
m
＞=
n
•
m
|
n
||
m
|
=
2
2

∴平面BEF與平面BCD所成的銳二面角為45°．
點(diǎn)評：本題考查面面垂直，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、如圖，已知ABCD是矩形，E是以CD為直徑的半圓周上一點(diǎn)，且平面CDE⊥平面ABCD，求證：CE⊥平面ADE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知ABCD 為平行四邊形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，點(diǎn)E 在CD 上，EF∥BC，BD⊥AD，BD 與EF 相交于N．現(xiàn)將四邊形ADEF 沿EF 折起，使點(diǎn)D 在平面BCEF 上的射影恰在直線BC 上．
（Ⅰ） 求證：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ） 求折后直線DE 與平面BCEF 所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•汕頭二模）如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，
（1）證明：平面AB1D1⊥平面AA1C1
（2）當(dāng)二面角B1-AC1-D1的平面角為120°時，求四棱錐A-A1B1C1D1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=FB=2DE．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直線EC與平面BCF所成的角；
（Ⅲ）問在EF上是否存在一點(diǎn)M，使三棱錐M-ACF是正三棱錐？若存在，試確定M點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2005•普陀區(qū)一模）如圖，已知ABCD和A1B1C1D1都是正方形，且AB∥A1B1，AA1=BB1=CC1=DD1，若將圖中已作出的線段的兩個端點(diǎn)分別作為向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)所形成的不相等的向量的全體構(gòu)成集合M，則從集合M中任取兩個向量恰為平行向量的概率是
2
15
2
15
（用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果）．

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