Question

【題目】已知圓，圓心為點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).

（l）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

（2）若為曲線上任意一點(diǎn)，|的最大值;

（3）經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)3；(3) 存在,點(diǎn)

【解析】

（1）連接，根據(jù)中垂線性質(zhì)可知，可得，滿足橢圓定義；（2）根據(jù)（1）可知，點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，所以，利用基本不等式求的最大值；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，利用韋達(dá)定理得到，由

代入坐標(biāo)表示，求.

解：（1）連接，是線段的垂直平分線：

點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為定值，

點(diǎn)的軌跡是以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，

動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為

（2）為曲線上任意一點(diǎn)，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，直線方程為，代入橢圓方程，得

由

由于對任意恒成立，因此

恒成立

即恒成立

恒成立，因此

綜上所述，存在點(diǎn)滿足題意