【題目】如圖，四棱錐中，，平面底面，，，是中點.

（1）證明：直線平面；

（2）點為線段的中點，求二面角的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點，連接，，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.

（2）不妨設，則，，取中點，得，，以為原點，以為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

證明：（1）如圖，取中點，連接，，

因為為中位線，

所以且，

又因為且，

所以且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

又因為平面，平面，

所以平面.

（2）不妨設，則，，取中點，

所以，

又因為，，

所以四邊形為矩形，

所以，，

平面平面，所以平面，

，

又因為三角形為正三角形，

所以，

故如圖建立空間直角坐標系，

可得，，，，，，

所以，，

設平面的一個法向量為，則，可取，

易知平面的一個法向量，

所以，又知二面角為銳角，

則二面角的大小為.

練習冊系列答案
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【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關的手機APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家，對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如下.

（1）已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中，甲商家的“平均送達時間”為18分鐘�，F(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進行市場調(diào)研，求甲商家被抽到的概率；

（2）試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數(shù)及平均數(shù)；

（3）如果以“平均送達時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù)，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？

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【題目】以昆明、玉溪為中心的滇中地區(qū)，冬無嚴寒、夏無酷暑，世界上主要的鮮切花品種在這里都能實現(xiàn)周年規(guī)�；a(chǎn).某鮮花批發(fā)店每天早晨以每支2元的價格從鮮切花生產(chǎn)基地購入某種玫瑰，經(jīng)過保鮮加工后全部裝箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鮮加工成本為1元），然后以每箱2000元的價格整箱出售.由于鮮花的保鮮特點，制定了如下促銷策略：若每天下午3點以前所購進的玫瑰沒有售完，則對未售出的玫瑰以每箱1200元的價格降價處理.根據(jù)經(jīng)驗，降價后能夠把剩余玫瑰全部處理完畢，且當天不再購進該種玫瑰，由于庫房限制每天最多加工6箱.

（1）若某天該鮮花批發(fā)店購入并加工了6箱該種玫瑰，在下午3點以前售出4箱，且被6位不同的顧客購買.現(xiàn)從這6位顧客中隨機選取2人贈送優(yōu)惠卡，則恰好一位是以2000元價格購買的顧客，另一位是以1200元價格購買的顧客的概率是多少？

（2）該鮮花批發(fā)店統(tǒng)計了100天內(nèi)該種玫瑰在每天下午3點以前的銷售量（單位：箱），統(tǒng)計結果如下表所示（視頻率為概率）：

/箱

4

5

6

頻數(shù)

30

①估計接下來的一個月（30天）內(nèi)該種玫瑰每天下午3點以前的銷售量不少于5箱的天數(shù)是多少？

②若批發(fā)店每天在購進5箱數(shù)量的玫瑰時所獲得的平均利潤最大（不考慮其他成本），求的取值范圍.

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【題目】設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，，分別是橢圓的左、右焦點，離心率，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）設點是一個動點，若直線的斜率存在，且為中點，，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】近幾年來我國電子商務行業(yè)發(fā)展迅猛，2016年元旦期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達918億人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為80次.

（1）完成商品和服務評價的列聯(lián)表，并說明是否可以在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為商品好評與服務好評有關？

（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的5次購物中，設對商品和服務全好評的次數(shù)為隨機變量.

①求對商品和服務全好評的次數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

②求的數(shù)學期望和方差.

參考數(shù)據(jù)及公式如下：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（，其中）

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【題目】如圖，在直角梯形中，，過點作交于點，以為折痕把折起，當幾何體的的體積最大時，則下列命題中正確的個數(shù)是（ ）

①

②∥平面

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④與所成的角等于與所成的角

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)，若，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求的取值范圍.

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B.沙漏的體積是

C.細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm

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（1）求a1，a2的值；

（2）求證：“a1，a2，…，an成等差數(shù)列”的充要條件是“”；

（3）若SA＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值時an的最大值.

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