【題目】在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的軌跡記為.

（1）求的方程；

（2）已知直線與相交于，兩點(diǎn).

（i）求的取值范圍；

（ii）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由.

【答案】(1) ； (2) （i）或.（ii）見解析.

【解析】

（1）先設(shè)，，，根據(jù)，以及題意，得到，再由，兩式聯(lián)立，即可得出結(jié)果；

（2）（i）先由題意得到方程組有兩不同實(shí)數(shù)解，消去，根據(jù)判別式，以及題中條件，列出不等式求解，即可得出結(jié)果；

（ii）假設(shè)存在是符合題意的點(diǎn)；設(shè)，，聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，，計(jì)算，只需，即可得.

（1）設(shè)，，，由題意可得：，

則，從而，

因?yàn)辄c(diǎn)為弦的中點(diǎn)，所以，即，

又直線過點(diǎn)，所以，

則，即，

而必在拋物線的內(nèi)部，從而，即.

故的方程為.

（2）（i）因?yàn)橹本�與相交于，兩點(diǎn)，

所以方程組有兩不同實(shí)數(shù)解，

由消去，得，

即在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以，只需且，

即且，解得：或.

所以的取值范圍是或；

（ii）假設(shè)存在是符合題意的點(diǎn)；設(shè)，.

將消去，得，故，，

由（i）知：或；

從而

，

因此，當(dāng)，即時(shí)，，

又為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，

即存在點(diǎn)符合題意.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．

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（1）任選人

（2）男運(yùn)動(dòng)員名,女運(yùn)動(dòng)員名

（3）至少有名女運(yùn)動(dòng)員

（4）隊(duì)長(zhǎng)至少有一人參加

（5）既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員

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【題目】如圖1，一藝術(shù)拱門由兩部分組成，下部為矩形，的長(zhǎng)分別為和，上部是圓心為的劣弧，．

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（2）現(xiàn)欲以B點(diǎn)為支點(diǎn)將拱門放倒，放倒過程中矩形所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示．設(shè)與地面水平線所成的角為．記拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離為，試用的函數(shù)表示，并求出的最大值．

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【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，記在點(diǎn)處的切線為.

（1）求的值和切線的方程（用表示）

（2）設(shè)與交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn).

（i）求證：點(diǎn)在定直線上;

（ii）設(shè)與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值.

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【題目】某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖．

（1）求直方圖中的值；

（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

（3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？

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【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，，，，E為AB的中點(diǎn)將沿CE折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)F的位置，且平面CEF與平面ADCE所成的二面角為．

求證：平面平面AEF；

求直線DF與平面CEF所成角的正弦值．

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【題目】某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分。每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品。

（Ⅰ）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為,求的概率；

（Ⅱ）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？

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