請(qǐng)先閱讀:
設(shè)平面向量
a
=(a1,a2),
b
=(b1,b2),且
a
b
的夾角為θ,
因?yàn)?span id="3x5hdr1" class="MathJye">
a
b
=|
a
||
b
|cosθ,
所以
a
b
≤|
a
||
b
|.
a1b1+a2b2
a
2
1
+
a
2
2
×
b
2
1
+
b
2
2
,
當(dāng)且僅當(dāng)θ=0時(shí),等號(hào)成立.
(I)利用上述想法(或其他方法),結(jié)合空間向量,證明:對(duì)于任意a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
)(
b
2
1
+
b
2
2
+
b
2
3
)
成立;
(II)試求函數(shù)y=
x
+
2x-2
+
8-3x
的最大值.
分析:(I)利用
a
b
≤|
a
|•|
b
|,即可證明結(jié)論;
(II)構(gòu)造空間向量
a
=(1,1,1),
b
=(
x
,  
2x-2
,  
8-3x
)
,且
a
b
的夾角為θ,利用(I)的結(jié)論,即可得到結(jié)論.
解答:(I)證明:設(shè)空間向量
a
=(a1,a2,a3),
b
=(b1,b2,b3),且
a
b
的夾角為θ,
因?yàn)?span id="jpbp91f" class="MathJye">
a
b
=|
a
|•|
b
|cosθ,
所以
a
b
≤|
a
|•|
b
|,(3分)
a1b1+a2b2+a3b3
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
b
2
1
+
b
2
2
+
b
2
3
(6分)
所以(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
)(
b
2
1
+
b
2
2
+
b
2
3
)
,
當(dāng)且僅當(dāng)θ=0時(shí),等號(hào)成立.(7分)
(II)解:設(shè)空間向量
a
=(1,1,1),
b
=(
x
,  
2x-2
,  
8-3x
)
,且
a
b
的夾角為θ,(9分)
因?yàn)?span id="pbdvtzj" class="MathJye">y=
x
+
2x-2
+
8-3x
=
a
b
,
所以y=
x
+
2x-2
+
8-3x
12+12+12
x+(2x-2)+(8-3x)
,
y≤
3
6
=3
2
,(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)θ=0(即
a
b
共線,且方向相同)時(shí),等號(hào)成立.
所以當(dāng)
x
=
2x-2
=
8-3x
時(shí),
即x=2時(shí),函數(shù)y=
x
+
2x-2
+
8-3x
有最大值ymax=3
2
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查向量的數(shù)量積公式,考查函數(shù)最大值的求解,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

請(qǐng)先閱讀:
設(shè)平面向量
a
=(a1,a2),
b
=(b1,b2),且
a
b
的夾角為θ,
因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >
a
b
=|
a
||
b
|cosθ,
所以
a
b
≤|
a
||
b
|.
a1b1+a2b2
a21
+
a22
×
b21
+
b22

當(dāng)且僅當(dāng)θ=0時(shí),等號(hào)成立.
(I)利用上述想法(或其他方法),結(jié)合空間向量,證明:對(duì)于任意a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a21
+
a22
+
a23
)(
b21
+
b22
+
b23
)
成立;
(II)試求函數(shù)y=
x
+
2x-2
+
8-3x
的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

請(qǐng)先閱讀:

設(shè)平面向量=(a1,a2),=(b1,b2),且的夾角為è,

因?yàn)?sub>=||||cosè,

所以≤||||.

,

當(dāng)且僅當(dāng)è=0時(shí),等號(hào)成立.

(I)利用上述想法(或其他方法),結(jié)合空間向量,證明:對(duì)于任意a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,都有成立;

(II)試求函數(shù)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年北京市西城區(qū)(北區(qū))高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

請(qǐng)先閱讀:
設(shè)平面向量=(a1,a2),=(b1,b2),且的夾角為θ,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173308509124483/SYS201311031733085091244018_ST/4.png">•=||||cosθ,
所以≤||||.
,
當(dāng)且僅當(dāng)θ=0時(shí),等號(hào)成立.
(I)利用上述想法(或其他方法),結(jié)合空間向量,證明:對(duì)于任意a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,都有成立;
(II)試求函數(shù)的最大值.

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