Question

設(shè)f（x）是（x²+

1

2x

）⁶展開式的中間項(xiàng)，若f（x）≤mx在區(qū)間[

2

2

，

2

]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

[5，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意可得 f（x）=

5

2

•x³，再由由f（x）≤mx在區(qū)間[

2

2

，

2

]上恒成立，可得m≥

5

2

x² 在區(qū)間[

2

2

，

2

]上恒成立，求得

5

2

x²在區(qū)間[

2

2

，

2

]上的最大值，可得m的范圍．

解答：解：由題意可得 f（x）=

C

3 6

•x⁶•(

1

2x

)3=

5

2

•x³．
由f（x）≤mx在區(qū)間[

2

2

，

2

]上恒成立，可得m≥

5

2

x² 在區(qū)間[

2

2

，

2

]上恒成立，
由于

5

2

x²在區(qū)間[

2

2

，

2

]上的最大值為 5，故m≥5，
即m的范圍為[5，+∞），
故答案為[5，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．