【題目】設l為曲線C:在點處的切線.
(1)求l的方程;
(2)證明:除切點之外,曲線C在直線l的下方;
(3)求證:(其中,).
【答案】(1)(2)見解析(3)見解析
【解析】
(1)求出切點處切線斜率,代入點斜式方程,可以求解;
(2)利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性,進而分析出函數(shù)圖象的形狀,可得結論;
(3)法一,充分利用(2)的結果,對不等式左端進行放大,進一步放大為可以列項相消的形式來證明,法二,利用數(shù)學歸納法證明即可.
(1)設(),則(),
從而曲線在點處的切線斜率為,
于是切線方程為,即,
因此直線l的方程為.
(2)令(),
則除切點之外,曲線C在直線l的下方等價于(任意,)恒成立.
滿足,且(,),
當時,,,從而,于是在單調遞減;
當時,,,從而,于是在單調遞增.
因此(任意,),除切點之外,曲線C在直線l的下方.
(3)方法1 由(2)可知(任意,).
令得,即.
則,,…,.
將以上各式相加得,
當,時,,
,
,
所以當,時,,結論成立.
方法2:用數(shù)學歸納法證明:
①當時,左邊,右邊,左邊右邊,不等式成立.
②假設當(,)時,不等式成立,
即,
當時,,
只需證明(*)
(**).
由(2)可知(任意,),
則().
又當,時,,
,
().
所以(**)成立,從而(*)成立.
時,不等式成立.
由①②可知,當,時,成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于數(shù)列,若存在正數(shù)p,使得對任意都成立,則稱數(shù)列為“擬等比數(shù)列”.
已知,且,若數(shù)列和滿足:,且,.
若,求的取值范圍;
求證:數(shù)列是“擬等比數(shù)列”;
已知等差數(shù)列的首項為,公差為d,前n項和為,若,,,且是“擬等比數(shù)列”,求p的取值范圍請用,d表示.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某水果經(jīng)銷商為了對一批剛上市水果進行合理定價,將該水果按事先擬定的價格進行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù),如表所示:
試銷單價(元/公斤) | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
日銷售量(公斤) | 168 | 146 | 120 | 90 | 56 |
(1)已知變量具有線性相關關系,求該水果日銷售量(公斤)關于試銷單價(元/公斤)的線性回歸方程,并據(jù)此分析銷售單價時,日銷售量的變化情況;
(2)若該水果進價為每公斤元,預計在今后的銷售中,日銷售量和售價仍然服從(1)中的線性相關關系,該水果經(jīng)銷商如果想獲得最大的日銷售利潤,此水果的售價應定為多少元?
(參考數(shù)據(jù)及公式:,,,線性回歸方程,,)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)若, 是橢圓上兩個不同的動點,且使的角平分線垂直于軸,試判斷直線的斜率是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在新型冠狀病毒疫情期間,商業(yè)活動受到很大影響某小型零售連鎖店總部統(tǒng)計了本地區(qū)50家加盟店2月份的零售情況,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示.據(jù)估計,平均銷售收入比去年同期下降40%,則去年2月份這50家加盟店的平均銷售收入約為( )
A.6.6萬元B.3.96萬元C.9.9萬元D.7.92萬元
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】11個興趣班,若干學生參與(可重復參與),每個興趣班人數(shù)相同(招滿,人數(shù)未知).已知任意九個興趣班包括了全體學生,而任意八個興趣班沒有包括全體學生求學生總人數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),則對于函數(shù)有下列四個命題:
命題1:存在實數(shù)使得函數(shù)沒有零點
命題2:存在實數(shù)使得函數(shù)有個零點
命題3:存在實數(shù)使得函數(shù)有個零點
命題4:存在實數(shù)使得函數(shù)有個零點
其中,正確的命題的個數(shù)是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩類水果的質量(單位:)分別服從正態(tài)分布、,其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是( )
A.乙類水果的平均質量
B.甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C.甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D.乙類水果的質量服從的正態(tài)分布的參數(shù)
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