Question

【題目】已知函數(shù)（且）．

（1）函數(shù)是否過定點(diǎn)？若是求出該定點(diǎn)，若不是，說明理由．

（2）將函數(shù)的圖象向下平移個單位，再向左平移個單位后得到函數(shù)，設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，求的解析式；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若函數(shù)過點(diǎn)，且設(shè)函數(shù)的定義域為，若在其定義域內(nèi)，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）過定點(diǎn)；（2）（且）；（3）.

【解析】

（1）在函數(shù)的解析式中，令指數(shù)為零，可求出該函數(shù)所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)平移原則求出函數(shù)的解析式，然后再根據(jù)同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)這一性質(zhì)可得出函數(shù)的解析式；

（3）將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得出，令，由，得出，利用函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）（且），令，得，.

因此，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)；

（2）將函數(shù)的圖象向下平移個單位，得到函數(shù)（且）的圖象，再將所得函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得到函數(shù)（且）的圖象.

因此，（且）；

（3）由題意得，得，且，，則，

當(dāng)時，.

由，得，

即，

令，則不等式對任意的恒成立，

對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中.

則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則該函數(shù)的最大值為，

，因此，實數(shù)的取值范圍是.