Question

已知雙曲線，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上方.
（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)，求以、為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的方程；
（2）若∠，求△的外接圓的方程；
（3）若在給定直線上任取一點(diǎn)，從點(diǎn)向(2)中圓引一條切線，切點(diǎn)為. 問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn)，恒有？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）（2）（3）存在

試題分析：（1）雙曲線的左、右焦點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為和，
∵雙曲線的漸進(jìn)線方程為：，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為是漸進(jìn)線上的點(diǎn)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為。
∵∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)
∵半焦距，∴橢圓的方程            ..5分
（2）∵，∴，即
又圓心在線段的垂直平分線上，故可設(shè)圓心
由。∴△的外接圓的方程為     ..9分
（3）假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
∵恒有，∴
即對(duì)恒成立。
從而，消去，得
∵方程的判別式
∴①當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，∴不存在這樣的定點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，此時(shí)，即直線與圓相離或相切，故此時(shí)存在這樣的定點(diǎn)；      14分
點(diǎn)評(píng)：解析幾何綜合題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系以及范圍、最值、定點(diǎn)、定值、存在性等問(wèn)題，直線與多種曲線的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題將會(huì)逐步成為今后命題的熱點(diǎn)，尤其是把直線和圓的位置關(guān)系同本部分知識(shí)的結(jié)合，將逐步成為今后命題的一種趨勢(shì)