如圖,直角坐標(biāo)系中,一直角三角形,B、D在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在邊上,BD=3DC,△ABC的周長(zhǎng)為12.若一雙曲線以B、C為焦點(diǎn),且經(jīng)過A、D兩點(diǎn).

⑴ 求雙曲線的方程;
⑵ 若一過點(diǎn)為非零常數(shù))的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、,且,問在軸上是否存在定點(diǎn),使?若存在,求出所有這樣定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由
(1)  (2)在軸上存在定點(diǎn),使

試題分析:(1) 設(shè)雙曲線的方程為,則
,得,即
      3分
解之得,∴
∴雙曲線的方程為. 5分
(2) 設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使
設(shè)直線的方程為,
,得
         ①  6分
,

. ②  8分
把①代入②,得  ③  9分
代入并整理得
其中,即
.   10分
代入③,得,化簡(jiǎn)得 .當(dāng)時(shí),上式恒成立.
因此,在軸上存在定點(diǎn),使.  13分
點(diǎn)評(píng):難題,曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題(1)求雙曲線方程時(shí),應(yīng)用了雙曲線的定義及其幾何性質(zhì),難度不大,較為典型。(2)則在應(yīng)用韋達(dá)定理的基礎(chǔ)上,通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,達(dá)到證明目的。
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線,點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)軸上方.
(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn),求以、為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的方程;
(2)若∠,求△的外接圓的方程;
(3)若在給定直線上任取一點(diǎn),從點(diǎn)向(2)中圓引一條切線,切點(diǎn)為. 問是否存在一個(gè)定點(diǎn),恒有?請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

直線與圓心為D的圓交于AB兩點(diǎn),則直線ADBD的傾斜角之和為(   )
A.πB.πC.πD.π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)都滿足,則的取值范圍是____  

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,線段的兩個(gè)端點(diǎn)、分別分別在軸、軸上滑動(dòng),,點(diǎn)上一點(diǎn),且,點(diǎn)隨線段的運(yùn)動(dòng)而變化.

(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)為點(diǎn)的軌跡的左焦點(diǎn),為右焦點(diǎn),過的直線交的軌跡于兩點(diǎn),求的最大值,并求此時(shí)直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F(,0),直線與其相交于M、N兩點(diǎn),MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是      .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

己知橢圓的離心率為,是橢圓的左右頂點(diǎn),是橢圓的上下頂點(diǎn),四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)圓兩點(diǎn).當(dāng)圓心與原點(diǎn)的距離最小時(shí),求圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)直線的斜率為2且過拋物線的焦點(diǎn)F,又與軸交于點(diǎn)A,為坐標(biāo)原點(diǎn),若的面積為4,則拋物線的方程為:
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(-4,0),B(4,0),△ABC周長(zhǎng)為18,則C點(diǎn)軌跡為(    )
A.(y≠0)B.(y≠0)
C.(y≠0)D.(y≠0)

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