Question

【題目】如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為1 ，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)(包含線段端點(diǎn))，則下列結(jié)論正確的______．

①當(dāng)時(shí)， 平面；

②當(dāng)時(shí)， 平面；

③的最大值為；

④的最小值為.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

對(duì)于①,連結(jié)AB1,B1D1,AD1,則VAA1B1D1=××1=，

S△AB1D1=×××sin60=,A1C=，

設(shè)A1到平面AB1D1的距離為h,則××h=,解得h=，

∴h=A1C.

∴當(dāng)時(shí),P為A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)。

∵平面AB1D1∥平面BDC1，

∵D1P平面AB1D1,∴D1P∥平面BDC1，故①正確；

對(duì)于②,由①可知P∈平面AB1D1，

∵A1C⊥平面AB1D1,∴A1C⊥平面D1AP，故②正確；

對(duì)于③,由①可知當(dāng)時(shí),P為等邊△AB1D1的中心，

∴∠APD1=120，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④,連結(jié)AC,D1C,則Rt△A1AC≌Rt△A1D1C,∴AP=D1P，

∴AP的最小值為 =，

∴AP+PD1的最小值為.故④正確。

故答案為：①②④。