Question

已知函數f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2）
（1）當t＜1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）當函數自變量的取值區(qū)間與對應函數值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為函數的保值區(qū)間．設g（x）=f（x）+（x-2）e^x，試問函數g（x）在（1，+∞）上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當t＜1時，求函數的導數，即可求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）根據保值區(qū)間的定義，結合函數單調性與導數之間的關系，即可期初

解答： 解（1）當-2＜t≤0時，f'（x）=e^x（x²-x）≥0，此時f（x）的單調增區(qū)間為[-2，t]；
當0＜t＜1時，x∈（-2，0），f'（x）＞0；x∈（0，t），f'（x）＜0，此時f（x）的單調增區(qū)間為[-2，0]，減區(qū)間為[0，t]…（4分）
（2）函數g（x）在（1，+∞）上不存在保值區(qū)間．   …（5分）
證明如下：
假設函數g（x）存在保值區(qū)間[a，b]．g（x）=（x-1）²e^x，g′（x）=（x²-1）e^x
因x＞1時，所以g′（x）＞0，g（x）為增函數，所以

g(a)=(a-1)2ea=a g(b)═(b-1)2eb=b

即方程（x-1）²e^x=x有兩個大于1的相異實根．          …（7分）
設φ（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），φ′（x）=（x²-1）e^x-1，φ''（x）=（x²+2x-1）e^x
因x＞1，φ''（x）＞0，所以φ′（x）在（1，+∞）上單增，又φ′（1）=-1＜0，φ′（2）=3e²-1＞0，
即存在唯一的x₀＞1使得φ′（x₀）=0…（9分）
當x∈（1，x₀）時，φ′（x）＜0，φ（x）為減函數，當x∈（x₀，+∞）時，φ′（x）＞0，φ（x）為增函數，
所以函數φ（x）在x₀處取得極小值．又因φ（1）=-1＜0，φ（2）=e²-2＞0，
所以φ（x）在區(qū)間（1，+∞）上只有一個零點，…（11分）
這與方程（x-1）²e^x=x有兩個大于1的相異實根矛盾．
所以假設不成立，即函數g（x）在（1，+∞）上不存在保值區(qū)間．  …（12分）

點評：本題主要考查函數單調區(qū)間的求解，利用函數單調性和導數之間的關系，解導數不等式是解決本題的關鍵．