Question

已知函數f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx，（x∈R）
（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若f（α）=1，α∈（0，

π

2

），求α

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡，進而根據三角函數的圖象和性質求得函數的最小正周期和最大值．
（2）把（1）中f（x）的解析式代入，根據α的范圍求得α的值．

解答： 解：（1）f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx=2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=2sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，函數的最大值為2．
（2）f（α）=2sin（2α+

π

6

）=1，
∴sin（2α+

π

6

）=

1

2

，
∵α∈（0，

π

2

），
∴2α+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴2α+

π

6

=

5π

6

，即α=

π

3

．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．考查了學生對三角函數基礎知識的掌握．