Question

一個(gè)棱柱的直觀圖（圖2）和三視圖（圖1）（主視圖和俯視圖是正方形，左視圖是等腰直角三角形）如圖所示2，其中M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：GN⊥AC
（2）當(dāng)FG=GD時(shí)，證明AG∥平面FMC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)三視圖與直觀圖的關(guān)系，判定面ABCD，CDFE是邊長(zhǎng)為a的正方形，再應(yīng)用線面垂直的判定和性質(zhì)即可證明；
（2）連結(jié)DE交FC于Q，連結(jié)QG，由中位線定理得到線線平行，再由線面平行的判定定理即可證明．

解答：  （1）證明：由三視圖可知面ABCD，CDFE是邊長(zhǎng)為a的正方形．
∵FD⊥CD，F(xiàn)D⊥AD，
∴FD⊥面ABCD，F(xiàn)D⊥AC，
連結(jié)DN，N是AC的中點(diǎn)，
∴AC⊥DN，∴AC⊥面GND，GN?面GND，
∴GN⊥AC；
（2）證明：連結(jié)DE交FC于Q，連結(jié)QG
∵G，Q，M分別是FD，F(xiàn)C，AB的中點(diǎn)，
∴GQ∥

1

2

CD，AM∥

1

2

CD，
∴AM∥GQ，AMGQ是平行四邊形
∴AG∥QM，
∵AG?面FMC，MQ?面FMC，
∴AG∥平面FMC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面平行與垂直的判定和性質(zhì)，同時(shí)考查三視圖與直觀圖的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．