Question

如圖，在三棱錐P-ABC，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
（1）若k=1，試求異面直線PA與BD所成角余弦值的大�。�
（2）當k取何值時，二面角O-PC-B的大小為

π

3

？

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結OD，由已知條件推導出∠ODB為異面直線PA與BD所成角，由此能求出異面直線PA與BD所成角余弦值的大�。�
（2）在面PAC上作OE⊥PC于點E，則∠OEB是二面角O-PC-B的平面角，由此能求出k取

2 3

3

時，二面角O-PC-B的大小為

π

3

．

解答： 解：（1）連結OD，∵點O、D分別是AC、PC的中點，
∴OD∥PA，
∴∠ODB為異面直線PA與BD所成角，OD=

1

2

PA，
設PA=1，則AB=BC=k=1，OD=

1

2

，
∵AB⊥BC，AB=BC，OP⊥底面ABC，D是PC的中點，
∴OB⊥面PAC，
∴OB⊥OD，
又∵AC=

AB2+BC2

=k

2

=

2

，
∴OB=OC=k•

2

2

=

2

2

，
∴BD=

OB2+OD2

=

k2 2 + 1 4

=

3

2

，
∴cos∠ODB=

OD

BD

=

3

3

．
∴異面直線PA與BD所成角余弦值的大小為

3

3

．
（2）在面PAC上作OE⊥PC于點E，
∵OB⊥面PAC，∴∠OEB是二面角O-PC-B的平面角，
PC=PA=1，AB=BC=k，OB=OC=

k 2

2

，
OP=

PC2-OC2

=

1- k2 2

，
∵OP•OC=PC•OE，
∴OE=OP•OC=OP•OB，
∴cot∠OEB=

OE

OB

=OP=

1- k2 2

=cot

π

3

=

3

3

，
∴

1- k2 2

=

3

3

，解得k=

2 3

3

，
∴k取

2 3

3

時，二面角O-PC-B的大小為

π

3

．

點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角為

π

3

時k的值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．