Question

（實(shí)驗(yàn)班必做題）
（1）

1

2sin170°

-2sin70°=

 

；
（2）若

π

4

＜x＜

π

2，

則函數(shù)y=tan2xtan³x的最大值為

 

；
（3）已知f（x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

，若0≤θ≤π，使函數(shù)f（x）為偶函數(shù)的θ為

 

A、

π

6

   B、

π

4

   C、

π

3

    D、

π

2

．

Answer 1

分析：（1）通分母，積化和差化簡sin70°sin10°，再利用誘導(dǎo)公式，約分得出結(jié)果；
（2）利用二倍角公式，轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanx的函數(shù)，將tanx看成整體，最后轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題解決；
（3）利用二倍角的正弦函數(shù)公式、余弦函數(shù)公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，把函數(shù)解析式中的x化為-x，確定出f（-x）的解析式，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x），列出關(guān)系式，利用正弦函數(shù)的奇偶性以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后可得cos（θ+

π

3

）=0，根據(jù)θ的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出滿足題意θ的度數(shù)．

解答：解：（1）

1

2sin170°

-2sin70°=

1-4sin10°sin70°

2sin10°

=

1+2[cos(10°+70°)-cos(10°-70°)]

2sin10°

=1；
（2）令tanx=t，∵

π

4

＜x＜

π

2

，∴t＞1，
∴y=tan2xtan³x=

2t4

1-t2

=

2

1 t4 - 1 t2

=

2

( 1 t2 - 1 2 )2- 1 4

≤

2

- 1 4

=-8
∴函數(shù)y=tan2xtan³x的最大值為-8；
（3）解：（1）f（x）=sin（2x+θ）+2

3

×

1+cos(2x+θ)

2

-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+

π

3

）；
要使f （x）為偶函數(shù)，則必有f（-x）=f（x），
∴2sin（-2x+θ+

π

3

）=2sin（2x+θ+

π

3

），即-sin[2x-（θ+

π

3

）]=sin（2x+θ+

π

3

），
整理得：-sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）=sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）
即2sin2xcos（θ+

π

3

）=0對x∈R恒成立，
∴cos（θ+

π

3

）=0，
又0≤θ≤π，則θ=

π

6

故答案為：1，-8，A．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)知識，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．