Question

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________；
（實驗班必做題）
函數(shù)f（x）=ax³-3x+1對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0 成立，則a=________．

Answer 1

    （1，4]
分析：（1）由三視圖可知：該幾何體是由上下兩部分組成，上面是一個圓錐，其高為2，底面半徑為1；下面是一個與圓錐底面同底的半球，半徑為1．據(jù)此即可計算出答案；
（2）利用導數(shù)和分類討論方法即可求出．
解答：（1）由三視圖可知：該幾何體是由上下兩部分組成，上面是一個圓錐，其高為2，底面半徑為1；下面是一個與圓錐底面同底的半球，半徑為1．
∴V==；
（2）利用分類討論方法：
函數(shù)f（x）=ax³-3x+1對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0 成立?[f（x）]_min≥0，x∈[-1，1]．
由已知可得：f^′（x）=3ax²-3，
①當a≤0時，f^′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴[f（x）]_min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，與a≤0矛盾，故舍去；
②當0＜a≤1時，，由x∈[-1，1]可得≤0，即函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴[f（x）]_min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，無解；
③當a＞1時，，由x∈[-1，1]可得≥0，即函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，∴[f（x）]_min=f（-1）=4-a≥0，解得a≤4，∴1＜a≤4；
綜上可知：1＜a≤4．
點評：由三視圖正確恢復原幾何體和熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想方法是解題的關鍵．