Question

（本小題滿分16分）設(shè)直線與橢圓相交于兩點.

（1）若，求的范圍；

（2）若，且橢圓上存在一點其橫坐標(biāo)為，求點的縱坐標(biāo)；

（3）若，且，求橢圓方程.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）聯(lián)立直線與橢圓方程，整理成關(guān)于的方程，利用進(jìn)行求解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，整理成關(guān)于的方程，利用平面向量的數(shù)量積為0與其橫坐標(biāo)為求解；（3）構(gòu)造三角形，利用平面向量的數(shù)量積為0與三角形的面積進(jìn)行求解.

解題思路:1.直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理成關(guān)于的方程，利用判別式的符號進(jìn)行判定（相交于兩個交點；，相切于一個交點；，兩者相離，無交點）

2. .

試題解析：（1）將直線代入橢圓方程，因為直線與橢圓交于兩點，故

解得，所以的范圍為.

（2）將直線代入橢圓方程，可得：

由可得，解得

即，代到橢圓方程得

即，

所以點的縱坐標(biāo)為 .

（3）設(shè)直線與坐標(biāo)軸交于，則

又兩個三角形等高，故

所以，求得

所以，

所以橢圓方程為.

考點：1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3.平面向量垂直的判定.