【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,且,過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),的周長(zhǎng)為8.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)試問:是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,求;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)存在定點(diǎn),使得為定值
【解析】
(Ⅰ)由題意可知,,則,,即,,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)當(dāng)直線斜率存在時(shí),聯(lián)立直線AB和橢圓方程,,代入韋達(dá)定理即可求得P點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)直線斜率不存在時(shí),,此時(shí)可求出,和之前的相等.
(Ⅰ)由題意可知,,則,
又的周長(zhǎng)為8,所以,即,,
故橢圓的方程:;
(Ⅱ)假設(shè)存在定點(diǎn),使得為定值,
若直線的斜率存在,設(shè)的方程為,
設(shè)點(diǎn),,
將設(shè)的方程代入橢圓方程,
整理得,
由韋達(dá)定理可得:,,
由于,,
則
,
因?yàn)?/span>為定值,
所以,
解得,此時(shí),
若直線的斜率不存在,
直線的方程為,,,
則,
當(dāng),得,
綜上所述:存在定點(diǎn),使得為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】李冶(1192-1279),真定欒城(今屬河北石家莊市)人,金元時(shí)期的數(shù)學(xué)家、詩(shī)人、晚年在封龍山隱居講學(xué),數(shù)學(xué)著作多部,其中《益古演段》主要研究平面圖形問題:求圓的直徑,正方形的邊長(zhǎng)等,其中一問:現(xiàn)有正方形方田一塊,內(nèi)部有一個(gè)圓形水池,其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為畝,若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步,則圓池直徑和方田的邊長(zhǎng)分別是(注: 平方步為畝,圓周率按近似計(jì)算)
A.步、步B.步、步C.步、步D.步、步
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且橢圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),其中為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線橢圓于另一點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且.若,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,中心在原點(diǎn)的橢圓C的上焦點(diǎn)為,離心率等于.
求橢圓C的方程;
設(shè)過且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),問:線段OF上是否存在一點(diǎn)D,使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形?作出判斷并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.
(1)當(dāng)m=-1時(shí),求A∪B;
(2)若AB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若A∩B=,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. f(x)的一個(gè)周期為-2π
B. y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱
C. f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=
D. f(x)在單調(diào)遞減
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若曲線C1:x2+y2-2x=0與曲線C2:y(y-mx+3m)=0有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)討論的奇偶性,并說明理由;
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若在上有最大值9,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合,其中, , . 表示中所有不同值的個(gè)數(shù).
()設(shè)集合, ,分別求和.
()若集合,求證: .
()是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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