Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，且，.

（1）證明：.

（2）若，試在棱上確定一點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)為棱的中點(diǎn)

【解析】

（1）在同一平面內(nèi)用數(shù)據(jù)說話證明 ，利用平面，證明，

從而得證平面，得到.

（1）取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，使用空間向量求及平面的一個(gè)法向量，利用夾角公式求解即可.

（1）證明：∵，且，∴，

∴，又∵，∴，即.

∵平面，平面，∴，

又∵，∴平面，

∵平面，∴.

（2）解：取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示.

設(shè)，則，，，，，

則，，，

設(shè)，

則.

由（1）可知，平面，∴為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)與平面所成的角為.

則，

整理得，解得或（舍），

∴點(diǎn)為棱的中點(diǎn).