Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn)。

    （Ⅰ）求證：A₁A⊥BC；

    （Ⅱ）當(dāng)側(cè)棱AA₁和底面成45º角時(shí)，求二面角A₁-AC-B的大小

    （Ⅲ）若D為側(cè)棱A₁A上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，BD⊥A₁C₁。

Answer 1

解法一：

     

（Ⅰ）連結(jié)AO，∵A₁O面ABC，AO⊥BC，

        ∴A₁A⊥BC。     

（Ⅱ）由（1）得，∠A₁AO=45º，

由底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，可知AO=3，

∴A₁O=3，AA₁=，

過(guò)O做OE⊥AC于E，連接A₁E，則∠A₁EO為二面角A₁-AC-B的平面角，

∵，∴。

即二面角A₁-AC-B的大小為arctan2。           

（Ⅲ）過(guò)D作DF∥A₁O，交AO于F，則DF⊥平面ABC。

BF為BD在面ABC內(nèi)的射影，

又∵A₁C₁∥AC，∴要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即證BF⊥AC，

∴F為△ABC的中心，∴

解法二：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OC為軸，OA為軸，OA₁為軸建立空間直角坐標(biāo)系。

 

（Ⅰ）由題意知∠A₁AO=45º，A₁O=3，

∴O（0，0，0），C（，0，0），A（0，3，0），A₁（0，0，3），B（，0，0）。

∵，，

∴

∴AA₁⊥BC。     

（Ⅱ）設(shè)面AA₁的法向量為，

則

令，則，，∴。    

而△ABC的法向量為               

。

又顯然所求二面角的平面角為銳角，

∴所求二面角的大小為。            

（Ⅲ）A₁C₁∥AC，故只需BD⊥AC即可。

設(shè)AD=a，則，

又，則，。

要使BD⊥AC，須，

得，而，∴，

∴。