精英家教網(wǎng)已知三棱柱ABC-A1B1C1的三視圖如圖所示,其中主視圖AA1B1B和左視圖B1BCC1均為矩形,在俯視圖△A1B1C1中,A1C1=3,A1B1=5,cos∠A1=
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(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,求證:BC⊥AC1;
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,若D是底邊AB的中點(diǎn),求證:AC1∥平面CDB1
(3)若三棱柱的高為5,求三視圖中左視圖的面積.
分析:(1)根據(jù)主視圖和左視圖均為矩形得到該三棱柱為直三棱柱,在俯視圖△A1B1C1中,利用余弦定理求出B1C1,從而得到BC⊥AC,而B(niǎo)C⊥CC1,CC1∩A1C1=C1,根據(jù)線面垂直的判定定理可知BC⊥平面ACC1A1,而AC1?平面ACC1A1,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BC⊥AC1
(2)欲證AC1∥平面CDB1,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AC1與平面CDB1內(nèi)一直線平行即可,連BC1交B1C于M,則M為BC1的中點(diǎn),連DM,根據(jù)中位線可知DM∥AC1,而DM?平面DCB1,AC1?平面DCB1,滿足定理所需條件.
(3)左視圖中BC的長(zhǎng)等于底面△ABC中頂點(diǎn)C到邊AB的距離d,求出a,最后根據(jù)矩形的面積公式求出所求即可.
解答:解:(1)因?yàn)橹饕晥D和左視圖均為矩形、所以該三棱柱為直三棱柱,
在俯視圖△A1B1C1中,A1C1=3,A1B1=5,cos∠A1=
3
5
,
由余弦定理可得B1C1=4,
∴∠A1C1B1=∠ACB=90°,
∴BC⊥AC
又∵BC⊥CC1,CC1∩A1C1=C1,∴BC⊥平面ACC1A1
∵AC1?平面ACC1A1,∴BC⊥AC1
(2)連BC1交B1C于M,則M為BC1的中點(diǎn),連DM,則DM∥AC1
∵DM?平面DCB1,AC1?平面DCB1,
∴AC1∥平面CDB1
(3)左視圖中BC的長(zhǎng)等于底面△ABC中頂點(diǎn)C到邊AB的距離d,d=
3×4
5
=
12
5
,
∴左視圖的面積S=
12
5
×5=12
點(diǎn)評(píng):考查線面平行、線面垂直的判定定理以及面積的求法.涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多,知識(shí)性技巧性都很強(qiáng).
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2
3
2
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CG
|的值為( 。

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