Question

已知點(diǎn)A（a，a），B（a+1，a+1），動點(diǎn)P到點(diǎn)M（1，0）的距離比到x=-2的距離小1的軌跡為曲線C，且線段AB與曲線C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意有可得點(diǎn)P軌跡為曲線C：y²=4x．過A，B的線段方程為：y=x（a≤x≤a+1），由線段與拋物線有公共點(diǎn)?

y=x y2=4x

在x∈[a，a+1]有解?x²-4x=0在x∈[a，a+1]上有解，根據(jù)方程根的分布可求．

解答： 解：由題意，動點(diǎn)P到點(diǎn)M（1，0）的距離比到x=-2的距離小1，故其軌跡為曲線C：y²=4x．
過A，B的線段方程為：y=x（a≤x≤a+1）
由線段與拋物線有公共點(diǎn)?

y=x y2=4x

在x∈[a，a+1]有解?x²-4x=0在x∈[a，a+1]上有解，
∴a≤0≤a+1或a≤4≤a+1
∴-1≤a≤0或3≤a≤4，
故答案為[-1，0]∪[3，4]．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的定義的應(yīng)用，及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用．