已知f0(x)=xex,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),…fn(x)=fn-1(x),n∈N*
(1)請(qǐng)寫出fn(x)的表達(dá)式(不需要證明);
(2)求fn(x)的極小值;
(3)設(shè)gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值為a,fn(x)的最小值為b,證明:a-b≥e-4
分析:(1)由f0(x)=xexf1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),…fn(x)=fn-1(x),n∈N*,知f1(x)=ex+xex=(x+1)ex,
f2(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)exf3(x)=ex+(x+3)ex,…,由此能求出fn(x)=(x+n)•ex,n∈N*
(2)由fn(x)=(x+n)ex,知fn(x)=(x+n+1)ex,由此能求出fn(x)的極小值.
(3)由gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值為a,fn(x)的最小值為b,知a-b=(n-3)2+e-(n+1).令h(x)=(x-3)2+e-(x+1),(x≥0).由此能夠證明a-b≥e-4
解答:解:(1)∵f0(x)=xex,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),…fn(x)=fn-1(x),n∈N*
∴f1(x)=ex+xex=(x+1)ex,
f2(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex,
f3(x)=ex+(x+3)ex,

∴fn(x)=(x+n)•ex,n∈N*
(2)∵fn(x)=(x+n)ex,
fn(x)=(x+n+1)ex,
∵x>-(n+1)時(shí),fn(x)>0;x<-(n+1)時(shí),fn(x)<0,
∴當(dāng)x=-(n+1)時(shí),fn(x)取得極小值fn(-(n+1))=-e-(n+1)
(3)∵gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,
gn(x)的最大值為a,fn(x)的最小值為b,
∴a=gn(-(n+1))=(n-3)2,b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)
∴a-b=(n-3)2+e-(n+1)
令h(x)=(x-3)2+e-(x+1),(x≥0)
則h′(x)=2(x-3)-e-(x+1),
∵h(yuǎn)′(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴h′(x)≥h′(0)=-6-e-1,
∵h(yuǎn)′(3)=-e-4<0,h′(4)=2-e-5>0,
∴存在x0∈(3,4),使得h′(x)=0.
∴0≤x≤x0時(shí),h′(x0)<0;當(dāng)x>x0時(shí),h′(x0)>0.
即h(x)在區(qū)間[x0,+∞)上單調(diào)遞增;在區(qū)間[0,x0)音調(diào)遞減,
∴h(x)min=h(x0).
∵h(yuǎn)′(3)=-e-4<0,h′(4)=2-e-5>0,
∴當(dāng)n=3時(shí),a-b取得最小值e-4
所以a-b≥e-4
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)在求最大值、最小值中的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思想的要求較高.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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(2012•泉州模擬)已知f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*).
(Ⅰ)請(qǐng)寫出fn(x)的表達(dá)式(不需證明);
(Ⅱ)設(shè)fn(x)的極小值點(diǎn)為Pn(xn,yn),求yn
(Ⅲ)設(shè)gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值為a,fn(x)的最小值為b,試求a-b的最小值.

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已知f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*).
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(Ⅱ)設(shè)fn(x)的極小值點(diǎn)為Pn(xn,yn),求yn
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在如圖所示的程序框圖中,已知f0(x)=x·ex,則輸出的是
[     ]
A.(x+2010)ex
B.xex
C.(1+2010x)ex
D.2010(1+x)ex

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