已知f0(x)=xn,fk(x)=,其中k≤n(n,k∈N+).設(shè)F(x)=f0(x2)+f1(x2)+…+fk(x2)+…+fn(x2),x∈[-1,1].

(1)寫出fk(1);

(2)證明:對(duì)任意的x1,x2∈[-1,1],恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2)-n-1.

答案:
解析:

  (1)解:由已知推得fk(x)=(n-k+1)xn-k,從而有

  fk(1)=n-k+1.

  (2)證法一:當(dāng)-1≤x≤1時(shí),

  F(x)=x2n+…+(n-k+1)+…+2,

  當(dāng)x>0時(shí),(x)>0,所以F(x)在[0,1]上是增函數(shù).

  又F(x)是偶函數(shù),所以F(x)在[-1,0]上是減函數(shù).

  所以對(duì)任意的x1,x2∈[-1,1],恒有

  |F(x1)-F(x2)|≤F(1)-F(0).

  F(1)-F(0)=+n+(n-1)+…+(n-k+1)+…+2

  =n+(n-1)+…+(n-k+1)+…+2

  ∵(n-k+1)=(n-k)=(n-k)·

 。絥·

  =n(k=1,2,…,n-1),

  ∴F(1)-F(0)=n(+…+)+(+…+)+

 。絥(2n-1-1)+2n-1

  =2n-1(n+2)-n-1.

  因此結(jié)論成立.

  證法二:當(dāng)-1≤x≤1時(shí),

  F(x)=x2n+nx2(n-1)+(n-1)x2(n-2)+…+(n-k+1)x2(n-k)+…+2x2+1,

  當(dāng)x>0時(shí),(x)>0,所以F(x)在[0,1]上是增函數(shù).

  又F(x)是偶函數(shù),所以F(x)在[-1,0]上是減函數(shù).

  所以對(duì)任意的x1,x2∈[-1,1],恒有

  |F(x1)-F(x2)|≤F(1)-F(0).

  F(1)-F(0)=+n+(n-1)+…+(n-k+1)+…+2,

  又∵F(1)-F(0)=2+3+…+n,

  ∴2(F(1)-F(0))=(n+2)(+…+)+2,

  ∴F(1)-F(0)=(n+2)(+…+)+1=(n+2)·+1=2n-1(n+2)-n-1.

  因此結(jié)論成立.

  分析:本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本計(jì)算,函數(shù)的性質(zhì),絕對(duì)值不等式及組合數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查歸納推理能力以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力,滿分12分.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:福建省泉州市普通中學(xué)2012屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)理科試題 題型:044

已知f0(x)=x·ex,f1(x)=(x),f2(x)=(x),…,fn(x)=(x)(n∈N*).

(Ⅰ)請(qǐng)寫出fn(x)的表達(dá)式(不需證明);

(Ⅱ)設(shè)fn(x)的極小值點(diǎn)為Pn(xn,yn),求yn;

(Ⅲ)設(shè)gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值為a,fn(x)的最小值為b,試求a-b的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案